第四章  常用概率分布

第一节   二项分布

一、二项分布的概念与特征  

（一)成败型实验（Bernoulli实验)

在医学卫生领域的许多实验或观察中，人们感兴趣的是卫生资格考试网某事件是否发生。如用白鼠做某药物的毒性实验，关心的是白鼠是否死亡；某种新疗法临床实验观察患者是否治愈；观察某指标的化验结果是否呈阳性等。将我们关心的事件A出现称为成功，不出现称为失败，这类试验就称为成-败型实验。指定性资料中的二项分类实验。

成-败型（Bernoulli)实验序列：

满足以下三个条件的n次实验构成的序列称为成-败型实验序列。

  1)每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一（A或非A)。

  2) 相同的实验条件下，每次实验中事件A的发生具有相同的概率π。（非A的概率为1-π)。

实际工作中要求π是从大量观察中获得的较稳定的数值。

  3) 各次实验独立。各次的实验结果互不影响。

（二)二项分布的概率函数

   二项分布是指在只能产生两种可能结果（如“阳性”或“阴性”)之一的n次独立重复实验中，当每次试验的“阳性”概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0,1,2,…,n的一种概率分布。

若从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的样本，则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二项分布，记作：B(X;n,π)或B(n,π)。

举例 设实验白鼠共3只，要求它们同种属、同性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率，即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为   ，相应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，则死亡鼠数为X的概率分布即表现为二项分布。

互不相容事件的加法定理

独立事件的乘法定理

构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现   的次数X的概率分布为：

其中X=0，1，2…，n。  n，π是二项分布的两个参数 。

对于任何二项分布，总有

例4-2  临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60%，现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？

分析：治疗结果为有限和无效两类，每个患者是否有效不受其他病例的影响，有效概率均为0.6，符合二项分布的条件。

2例有效的概率是0.432

一例以上有效的概率为：

或：

（三)二项分布的特征

1.  二项分布的图形特征

n，π是二项分布的两个参数，所以二项分布的形状取决于n，π。可以看出，当π =0.5时分布对称，近似对称分布。当π ≠0.5时，分布呈偏态，特别是n较小时， π偏离0.5越远，分布的对称性越差，但只要不接近1和0时，随着n 的增大，分布逐渐逼近正态。因此， π或1- π不太小，而n足够大，我们常用正态近似的原理来处理二项分布的问题。

2.  二项分布的均数和标准差

 对于任何一个二项分布B(X;n,π)，如果每次试验出现“阳性”结果的概率均为π ，则在n次独立重复实验中，出现阳性次数

X的总体均数为：

方差为：

标准差为： 

例   实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的

总体均数为：   =3×0.6=1.8（只)

方差为：  

标准差为: 

如果以率表示，将阳性结果的频率记为  ， 则P的

总体均数

总体方差为

总体标准差为  

式中 是频率p的标准误，反映阳性频率的抽样误差的大小。

例4-4 如果某地钩虫感染率为6.7%,随机观察当地150人,样本钩虫感染率为p,求p的抽样误差 。

二、二项分布的应用

（一)   概率估计

例4-5  如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大?

(二)单侧累计概率计算

 二项分布出现阳性次数至少为K次的概率为

阳性次数至多为K次的概率为

例4-6 如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中至多有2人感染钩虫的概率有多大?至少有2人感染钩虫的概率有多大?至少有20人感染钩虫的概率有多大?

至多有2名感染的概率为:

至少有2名感染的概率为:

至少有20名感染的概率为:

第二节  Poisson分布的概念与特征

  一、Poisson分布的概念

  Poisson分布也是一种离散型分布，用以描述罕见事件发生次数的概率分布。Poisson分布也可用于研究单位时间内(或单位空间、容积内)某罕见事件发生次数的分布，如分析在单位面积或容积内细菌数的分布，在单位空间中某种昆虫或野生动物数的分布，粉尘在观察容积内的分布，放射性物质在单位时间内放射出质点数的分布等。Poisson分布一般记作。

Poisson分布作为二项分布的一种极限情况

Poisson分布可以看作是发生的概率π 很小，而观察例数很大时的二项分布。除要符合二项分布的三个基本条件外，Poisson分布还要求π或1-π接近于0和1。有些情况π和n都难以确定，只能以观察单位(时间、空间、容积、面积)内某种稀有事件的发生数X等来表示，如每毫升水中大肠杆菌数，每个观察单位中粉尘的记数，单位时间内放射性质点数等，只要细菌、粉尘、放射性脉冲在观察时间内满足以上条件，就可以近似看为Poisson分布。

二、Poisson分布的特征

1.Poisson分布的概率函数为: 

式中 为Poisson分布的总体均数，X为观察单位时间内某稀有事件的发生次数；e为自然对数的底，为常数，约等于2.71828。

如某地20年间共出生短肢畸形儿10名，平均每年0.5名。就可用   代入Poisson分布的概率函数来估计该地每年出生此类短肢畸形儿的人数为0，1，2…的概率P(X)。

2.Poisson分布的特性：

（1)Poisson分布的的总体均数与总体方差相等，均为 。

（2)Poisson分布的观察结果有可加性。即对于服从Poisson分布的m个互相独立的随机变量X1,X2…XM，它们之和也服从Poisson分布，其均数为这m个随机变量的均数之和。

从总体均数为的服从Poisson分布总体中随机抽出一份样本，其中稀有事件的发生次数为X1，再独立地从总体均数为的Poisson分布总体中随机抽出另一份样本，其中稀有事件的发生次数为X2，则他们的合计发生数T=X1+X2也服从Poisson分布，总体均数为。

Poisson分布的这些性质还可以推广到多个Poisson分布的情形。例如，从同一水源独立地取水样5次，进行细菌培养，每次水样中的菌落数分别为，均服从Poisson分布，分别记为，把5份水样混合，其合计菌落数也服从Poisson分布，记为，其均数为。

医学研究中常利用Poisson分布的可加性，将小的观察单位合并以增大发生次数X，以便用正态近似法进行统计推断。

二、 Poisson分布的应用

（一)   概率估计

例4-7 如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为80/00，那么该地120名新生儿中有4人患先天性心脏病的概率有多大?

(二)单侧累计概率计算

Poisson分布出现阳性次数至多为K次的概率为

阳性次数至少为K次的概率为

例4-8 如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率为80/00，那么该地120名新生儿中至多有4人患先天性心脏病的概率有多大?至少有5人患先天性心脏病的概率有多大?

至多有4人患先天性心脏病的概率：

至少有5人患先天性心脏病的概率

例4-9  实验显示某100cm2培养皿平均菌落数为6个，试估计该培养皿菌落数小于3个的概率，大于1个的概率。

该培养皿菌落数小于3个的概率

该培养皿菌落数大于1个的概率

三、二项分布、Poisson分布的的正态近似

1.二项分布的正态近似  

  二项分布的形状取决于n,π，当π=0.5时分布对称，当π≠0.5时，分布呈偏态，特别是n较小时， π偏离0.5越远，分布的对称性越差，随着n的增大，分布逐渐趋向于对称。理论上可以证明，不管π如何，当n相当大时，只要π不接近1和0时，特别是当nπ或n（1- π )都大于5时，二项分布B(X;n,π)近似正态分布N(nπ,nπ(1-π))。

二项分布累积概率的正态近似公式为：

为标准正态分布的分布函数

例4-14  如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人, 其中至少有20人感染钩虫的概率有多大?

n π=150×0.13=19.5

n(1- π)=150×(1-0.13)=130.5

至少有20人感染钩虫的概率为50%。

2.  Poisson分布的正态近似

  Poisson分布，当总体均数小于5时， 越小，分布越呈偏态，随着的增大，分布逐渐趋向于对称。理论上可以证明，随着Poisson分布也渐近为正态分布。当时，Poisson分布资料可按正态分布处理。

Poisson分布累积概率的正态近似公式为：

为标准正态分布的分布函数

例4-15  实验显示某放射性物质半小时内发出的脉冲数服从Poisson分布，平均为360个，试估计该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率。

试估计该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率为1.66%。

第三节   正态分布

一、正态分布的概念

正态分布是自然界最常见的一种分布，若指标X的频率分布曲线对应于数学上的正态分布曲线，则称该指标服从正态分布。

正态分布的密度函数，即正态曲线的方程为

  -∞＜X＜+∞

均数为0，标准差为1的正态分布，这种正态分布称为标准正态分布。

对于任意一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量，可作如下的标准化变换，也称Z变换，

标准正态分布的密度函数：

  -∞＜Z＜+∞

为标准正态分布的密度函数，即纵坐标的高度。

（二)、正态分布的特征

1.   关于对称。即正态分布以均数为中心，左右对称。

2. 在处取得概率密度函数的最大值，在 处有拐点，表现为 钟形曲线。即正态曲线在横轴上方均数处最高。

3. 正态分布有两个参数，即均数µ和标准差σ。

µ是位置参数，σ是变异度参数(形状参数)。常用N(µ,σ2)表示均数为μ  ，标准差为σ的正态分布；用N(0,1)表示标准正态分布。

4. 正态曲线下面积分布有一定规律。横轴上正态曲线下的面积等于100%或1。

二、正态曲线下面积的分布规律

正态方程的积分式(分布函数)：

F(X)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线下，横轴尺度自－∞到X的面积，即下侧累计面积 。

标准正态分布方程积分式(分布函数)：

Φ(Z)为标准正态变量 u的累计分布函数，反映标准正态曲线下，横轴尺度自－∞到Z的面积，即下侧累计面积 。

三、标准正态分布表

用查表代替计算必须注意：

1)表中曲线下面积为－∞到Z的面积。

2)当µ,σ和X已知时，先求出Z值，再用Z值查表，得所求区间占总面积的比例。当µ和σ未知时，要用样本均数和样本标准差S来估计Z值。

3)曲线下对称于0的区间，面积相等。

4)曲线下横轴上的面积为100%或1。

正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ，即均数位置，理论上：

   µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的68.27%

   µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的95%

   µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的99%

实际应用中：

   ±1 S范围内曲线下的面积占总面积的68.27%

   ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的95%

   ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的99%

标准正态分布的µ=0，σ=1，则

µ±σ相当于区间(-1，1)，

µ±1.96σ相当于区间(-1.96，1.96),

µ±2.58σ的区间相当于区间(-2.58，2.58)。

区间(-1,1)的面积：1-2Φ(-1)=1-2×0.1587=0.6826=68.26%
区间(-1.96,1.96)的面积：1-2Φ(-1.96)=1-2×0.0250=0.9500=95%
区间(-2.58,2.58)的面积：1-2Φ(-2.58)=1-2×0.0049=0.9902=99.02%

例 4-10 X服从均数为，标准差为的正态分布，，试估计（1)X取值在区间上的概率；（2)X取值在区间上的概率；

先做标准化变化:

正态曲线下面积对称，则区间（1.96，∞)的面积也是0.025。Z取值于（-1.96，1.96)的概率为1-2×0.025=0.95，即X取值在区间上的概率为95%。

例 4-11   已知某地1986年120名8岁男童身高均数_{医学检验网}，S=4.79 cm  ，估计(1)该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比；(2)身高界于120cm~128cm者占该地8岁男孩总数的比例；(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围？

（1)先做标准化变化:

理论上该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁男孩总数的7.21%。

（2)

（3)

查附表1，标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的Z值为-1.28，所以80%的8岁男孩身高值集中在区间内，即116.9cm~129.2cm

四、正态分布的应用

（一)制定医学参考值范围

参考值范围：指特定的“正常”人群的解剖、生理、生化、免疫等各种数据的波动范围。

制定参考值范围的步骤：
 1.  选择足够数量的正常人作为调查对象。
 2.  样本含量足够大。
 3.  确定取单侧还是取双侧正常值范围。
 4.  选择适当的百分界限。
 5.  选择适当的方法。

估计医学参考值范围的方法：
  1.  正态近似法：适用于正态分布或近似正态分布的资料。 
  2.  百分位数法：适用于偏态分布资料。

例4-12  某地调查120名健康女性血红蛋白，直方图显示，其分布近似于正态分布，得均数为117.4g/L，标准差为10.2g/L ，试估计该地正常女性血红蛋白的95%医学参考值范围。

分析：正常人的血红蛋白过高过低均为异常，要制定双侧正常值范围。

该指标的95%医学参考值范围为

例3.6 某地调查110名正常成年男子的第一秒肺通气量，得均数为4.2 L，标准差为0.7 L ，试估计该地正常成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围。

分析：正常人的第一秒肺通气量近似正态分布，且只以过低为异常，要制定单侧下限。

该地正常成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围为：不低于3.052L。

例 3 某年某市调查了 200例正常成人血铅含量（μg/100g)如下，试估计该市成人血铅含量的95%医学参考值范围。

分析：血铅的分布为偏态分布，且血铅含量只以过高为异常，要用百分位数法制定单侧上限。

二、质量控制
   为了控制实验中的检测误差，常用±2S作上下警戒线，以±3S作为上下控制线。这里的2S和3S可视为1.96S 和2.58S的约数。其依据是正常情况下检测误差是服从正态分布的。

判断异常的8种情况是：

v 有一个点距中心线的距离超过3个标准差（控制限以外)

v 在中心线的一侧连续有9个点

v 连续6个点稳定地增加或减少

v 连续14个点交替上下

v 连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差（警戒限以外)

v 连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差

v 中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都超出1个标准差以内

v 中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个标准差范围。

三、统计处理方法的理论基础

如  统计描述中计算算术平均数、标准差、

   统计推断中进行总体均数置信区间估计、t 检验、F 检验、相关与回归等分析

1.标准正态分布的均数与标准差是（ )

A 0，1   B 1，0  C  0，0   D 1，1

2.正态分布的两个参数μ与σ，（ )对应的正态曲线愈趋扁平。

A μ愈大   B μ愈小 C σ愈大  D σ愈小

3.正态分布的两个参数μ与σ，（ )对应的正态曲线平行右移。

A 增大μB 减小μ   C 增大σ  D 减小σ

4. 随机变量X服从正态分布N(μ1,σ12)，随机变量Y服从正态分布N(μ2,σ22)，X与Y独立，则X-Y服从（ )

A  N(μ1+ μ2,σ12- σ22)  B  N(μ1- μ2,σ12- σ22)   C  N(μ1-μ2,σ12+σ22)D  N(0σ12+σ22)

5. 二项分布的概率分布图在（  )条件下为对称图形。

A n>50  B π=0.5 C=1   D   nπ>5

6. ( )的均数等于方差。

A  正态分布B  二项分布  

C  Poisson分布  D  对称分布

7. 设X1,X2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson分布，且X1,X2独立，侧X1,X2服从以（  )为方差的Poisson分布。

A λ12+λ22  B λ1+λ2  C(λ1+λ2)2   D (λ1+λ2) -1/2

8. 满足（  )时，二项分布B(n ,π)近似正态分布。

A nπ 和n(1-π) 均大于等于5 B nπ 或n(1-π) 均大于等于5

C n>50D   nπ足够大

9. 满足（  )时，Poisson分布P(λ)近似正态分布。

A λ无限大B λ>20

C λ =1 D λ =0.5

10. 满足（　)时，二项分布B(n ,π)近似Poisson分布。

A nπ 和n(1-π) 均大于等于5  B n~∞

C n很大且π接近0.5D n很大且π接近0

11. 观察某地100名12岁男孩身高，均数为138.00cm,标准差为4.12cm，Z=(128.00-138.00)/4.12。Φ(Z)是标准正态分布的分布函数，1- Φ(Z)=1- Φ(-2.43)=0.9925,结论是（ )

A 理论上身高低于138.00cm的12岁男孩占99.25%

B 理论上身高高于138.00cm的12岁男孩占99.25%

C 理论上身高低于128.00cm的12岁男孩占99.25%

D 理论上身高高于128.00cm的12岁男孩占99.25%