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卫生学电子教材-第八章 计数资料的统计方法 :第三节 计数资料的x2检验
来源:南华大学资源网 更新:2013/9/10 字体:
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<一、x2的基本思想><二、四格表的X2检验><三、行列表的X2检验>
一、x2检验的基本思想

上一节介绍的计数资料的u检验,只能推断两个两类构成总体的某类率或某类构成比是否相等。本节介绍计数资料的x2检验(chi-square test),是计数资料的通用假设检验方法,可推断两个或多个两类构成总体的某类率或某类构成比是否相等;可推断两个或多个多类构成总体的分类构成比是否相同。

  

x2检验要求把样本的分类个体数排成行×列表或列联表(contingency table)。现以最简单的2×2表即四格表(fourfold table)来说明x2检验的基本思想。

设要推断某人群男和女的某种疾病的患病率是否相等,即该病是否和性别有关。某人群为总体,该人群的每个人为个体。个体有2个研究因素,性别分男和女,某种疾病分有和无。从总体抽取样本,把样本的分类个体数a、b、c、d排成四格表,如表8-7,其2行合计为n1.和n2.,2列合计为n.1;和n.2,总合计为n。 

 

从该人群总体中随机抽样构成四格表资料有3种抽样方法:①从该总体抽取含量为n的一个样本,按性别的男和女及疾病的有和无的组合清点个体数;②把该总体分成男和女两个总体,分别抽取含量为n1.和n2.的两个样本,按疾病的有和无清点个体数;③把该总体分成有病和无病两个总体,分别抽取含量为n.1和n.2的两个样本,按性别的男和女清点个体数。①和②都是由男和女的样本患病率来推断男和女的总体患病率是否相等。③是由有病和无病的样本男性(或女性)构成比来推断有病和无病的总体男性构成比是否相等,若相等就可间接推断男和女的总体患病率相等;若不等就可间接推断男和女的总体患病率不等。

3种抽样方法计算样本检验统计量x2值的公式相同,现以第1种和第2种抽样方法说明之。 a、b、c、d为四格表的实际频数(actual frequency),用A11、A12、A21、A22表示。检验假设是男和女的总体患病率相等,即π12=π。如果检验假设成立,则四格表的合计率n.1/n应是π的最佳估计值,用这个估计值和2个行合计算出四格表的理论频数(theoretical frequency),T21=n2.n.1/n,T12=n1.n.2/n,同理可得T12=n1.n.2/n,T22=n2.n.2/n。把行合计记为nR,列合计记为nC,则求行×列表的R行C列的理论频数TRC的公式为

求行×列表样本检验统计量x2值的基本公式为

∑表示对行×列表的所有格子求和,如行数用R表示,列数用C表示,则共有R×C格。x2分布只有1个参数——自由度ν,对于行×列表为ν=(R-1)(C-1)(8·19)行×列表的自由度可以这样理解:在R个行合计数和C个列合计数固定的情况下,R×C个格子可自由取值的格子数。如四格表的自由度ν=(2-1)(2-1)=1,即4个格子只有1个格子可自由取值,其他3个格子取值可用行合计数或列合计数用减法求得。因此行×列表只需用(8·17)式求ν个理论频数,其余的理论频数可用行合计数或列合计数用减法求得。行×列表x2值反映R×C个格子的实际频数和理论频数的差别程度,如果检验假设成立,则x2值越大,它由抽样误差造成的P值越

 

常、可疑和冠心病三者的眼底动脉硬化的分级构成比不同或不全相同)。

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二、四格表资料的x2检验

四格表资料有一般四格表资料和配对四格表资料,用于推断两个总体率(或总体构成比)是否相等的假设检验。一般四格表资料的x2检验和上一节介绍的推断两个总体率是否相等的u检验等价。配对四格表资料的x2检验相对于一般四格表资料的x2检验,可提高两个总体率差别的假设检验的检验效能,或可减少样本含量。

 1.四格表资料的x2检验 四格表资料如表8-7。当每格的理论频数T≥5时,计算x2值既可用基本公式(8·18);也可用由基本公式推导出的下述四格表的专用公式,它省出求理论频数的麻烦,简化运算。

当四格表资料的总合计数n≥40而有理论频数1≤T<5时,需用下述校正公式:

注意的是:当四格表资料的n<40而有一格的理论频数 T<5时,或有一格的理论频数T<1时,则用上述校正公式也不行,需查专门医学统计书所介绍的假设检验方法。

例8·7问例8·6中某山区小学男生和女生的肺吸虫感染率有无差别(用x2检验)?其四格表资料如表8-9,计算出两个样本率是便于观察比较。 

设该山区小学男生总体的肺吸虫感染率为π1,女生总体的肺吸虫感染率为π2,假设为:

H0:π12

H1:π1≠π2

α=0.05

若用基本公式(8·18)求x2值,需先用公式(8·17)求各格的理论频数:80×36/165=17.45,80-17.45=62.55,36-17.45=18.55,85-18.55=66.45。于是

若用四格表专用公式(8·20)求x2值,则有

两者x2值应相同,如有微小差别是由于计算过程中尾数的舍入误差。

查x2界值表得P<0.05。按α=0.05水准拒绝H0,接受H11,认为该山区小学男生和女生的肺吸虫感染率有差别,男生高于女生。

例8·8某医师用甲、乙两疗法治疗小儿单纯消化不良,治疗结果如表8-10,问两种疗法的治愈率是否相等?

设对小儿单纯性消化不良的总体治愈率甲疗法为π1,乙疗法为π2,假设为:

H0:π12

H1:π1≠π2

α=0.05

最小的理论频数为T12=33×9/71=4.18,需用校正公式。据(8·22)式有

 

查x2界值表得P>0.05。按α=0.05水准不拒绝H0,尚不能认为甲、乙两疗法对小儿单纯性消化不良的治愈率不等。

2.配对四格表资料的x2检验 和上一章第三节中介绍的计量资料的配对一样,配对设计有同源配对和异源配对。只是计量资料的配对其结果是数值变量;而计数资料的配对其结果是分类变量。

配对四格www.med126.com表的样本资料如表8-11。四个格子内的个体数(同源配对)或对子数(异 

源配对)a、b、c、d,可分作两种方法(如甲法和乙法)结果相同的个体数或对子数a和d;结果不同的个体数或对子数b和c。用b和c的差别来推断两个总体率(如甲法和乙法两个总体的阳性率)是否相等。当n≥40时,计算x2值的公式为

若n<40,需用下述校正公式:

例8·9有28份咽喉涂抹标本,把每份标本分别接种在甲、乙两种白喉杆菌培养基上,观察两种白喉杆菌生长情况,结果如表8-12。问两种白喉杆菌培养基的效果有无差别?设甲、乙两种白喉杆菌培养基的培养结果的总体阳性率分别为π1和π2,假设为:

H0:π12

H1:π1≠π2

α=0.05

 

ν=1

查x2界值表得P<0.05。按α=0.05水准拒绝H0,接受H11,认为甲、乙两种白喉杆菌培养基的效果有差别,甲培养基的阳性率高于乙培养基的阳性率。

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三、行×列表资料的x2检验



  现在介绍一般的行×列表资料的x2检验。它当然也适用于四格表资料,但通常是指行数或列数大于2的行×列表资料,可用于推断多个两类构成总体的某类率或某类构成比是否相等;可用于推断两个或多个多类构成总体的分类构成比是否相同。

行×列表资料的x2检验可用基本公式(8·18);但一般用由基本公式推导出的下述简捷公式,它省去求理论频数的麻烦,简化运算。

式中n为总合计数,A为每个格子的实际频数,nR和nC分别为与A同行和同列的合计数。

注意的是:行×列表资料用x2检验,当有1/5及以上格子的理论频数T<5,或有一个格子T<1时,应该与相邻组合并以增加理论频数,达到1/5格子以下T<5。应注意合并组的合理性,如年龄分组可以并组;但按性质分组(如血型的O型、A型、B型和AB型)便不能并组,只有增加样本含量。

还要注意的是:推断多个总体率(或总体构成比)是否相等的x2检验,结论为拒绝H0、接受H1时,是认为各总体率不等或不全相等,其含意为不能确定其中任意两个总体率都不等,只能说其中至少有两个总体率不等。

例8·10某市重污染区、一般市区和农村的出生婴儿的致畸情况如表8-13。问3个地区的出生婴儿的致畸率有无差别?

设该市重污染区、一般市区和农村的出生婴儿总体的致畸率分别为π1、π2和π3,假设为:

H0:π123

H1:π1、π2和π3不等或不全相等

α=0.05

据(8·25)式有

查x2界值表得P<0.01。按α=0.05水准拒绝H0,接受H1,认为该市重污染区、一般市区和农村出生婴儿的致畸率有差别。

例8·11据表8-14资料,问我国南、北方鼻咽癌患者(按籍贯分)的病理组织学分类的构成比是否相同? 

假设为:

H0:南、北方鼻咽癌患者总体的病理组织学分类的构成比相同

H1:南、北方鼻咽癌患者总体的病理组织学分类的构成比不同

α=0.05据(8·25)式有

 

查x2界值表得P<0.05。按α=0.05水准拒绝H0,接受H1,认为我国南、北方鼻咽癌患者的病理组织学分类的构成比不同。

例8·12 某工厂在冠心病调查中研究冠心病与眼底动脉硬化的关系,共调查588人,资料如表8-15。问冠心病与眼底动脉硬化有无关系?

假设为:

H0:总体冠心病与眼底动脉硬化无关

H1:总体冠心病与眼底动脉硬化有关

α=0.05

据(8·25)式有

查x2界值表得P<0.01。按α=0.05水准拒绝H0,接受H1,认为冠心病与眼底动脉硬化有关(即正填写内容

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